Го на графе: задачка

Из шести досок для Го 9х9 склеили куб, отождествив пункты первых линий. Как вы считаете, каким должно быть коми для Го на такой структуре?

Структура игры сильно меняется, так как нет края, есть только восемь особых точек - вершины, где только по три дамэ. Почти Го на сфере получается. Но сферу нельзя причесать... она круглая, как известно, так что коми будет меньше, чем в обычном Го, а вот сколько - надо провести эксперименты длиной этак 20-30 веков. Может, кто возьмется за выпуск комплектов? 7х7х7 хотя бы... А вот если манэГо... тэнгэна-то нету! Так что белые не могут проиграть!



Отправка отредактированного (13/01/04 18:18)

Смотри в корень

Отправка отредактированного (13/01/04 18:39)

Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)

Мане-го на кубе и, вообще, на любой поверхности легко опровергается. Правило снятия окруженных предопределяет невозможность мане-стратегии, как беспроигрышной.

Не на любой, а, по-видимому, топологически эквивалентной сфере (как двумерное многообразие в трехмерном пространстве) с четным числом особых точек типа вершин куба - с точки зрения разлиновки. И где доказательство?

А вот пойдем от противного: предположим, черные сделали атари. Тогда белые могут сделать такое же атари, если только это не одна и та же группа черных. Но в последнем случае у черных уже всего одно дамэ и белые снимут такую группу (они восстанавливают четность своим ходом). Или я не прав?



Отправка отредактированного (14/01/04 07:59)

Смотри в корень

А если взять такую разлиновку на сфере, что каждый пункт имеет четыре соседних? Минимально это октаэдр, вписанный в сферу и спроектированный своими ребрами на ее поверхность. Других нет (докажите). Но можно близко к этому условию взять сферу с выколотыми двумя полюсами (топологически эквивалентна цилиндру без донышек). Тогда поверхность как у цилиндра и может быть разлинована сеткой с четырьмя дамэ в каждом пункте, а в полюсах сходятся сколько угодно - в зависимости от размера сетки. Пусть в каждом полюсе стоит изначально по камню у каждого игрока (или с пустой доски начинать). Что за игра получится? А если играть с двумя краями (не доводить сетку до полюсов, т.е. фактически играть на цилиндре)? А может попробовать лист Мёбиуса?



Отправка отредактированного (14/01/04 10:18)

Смотри в корень

Доказательство.

Мане-стратегия предполагает наличие симметрии, относительно какого-то подмножества вершин. Минимальное из подмножеств, удовлетворяющих этому условию, дальше именую – центр симметрии.
Рассмотрим полностью связный граф с конечным числом вершин.

Лемма 1.
На графе с нечетным числом вершин опровергающая стратегия очевидна, поскольку при полном заполнении доски число ходов нечетное.

Лемма 2.
Пусть n – число вершин графа, k – число вершин центра симметрии.
Тогда справедливо утверждение: (n-k) сравнимо с нулем по модулю 2. (Прошу извинить за такую форму записи. Не нашел на клавиатуре символа сравнимости.)

Опровергающая стратегия на графе с четным числом вершин, при n>k.
1. Полностью заполняем центр симметрии так, что не снимается ни один камень. Это всегда возможно. Существует способ заполнения такой, что на доске образуются одна черная и одна белая группы. Все даме у групп – внешние.
2. Заполняем даме у белой группы. Результат очевиден.

Примечание. При n=k, опровергающей стратегии не существует.

> Мане-стратегия предполагает наличие симметрии, относительно какого-то подмножества вершин. Минимальное из подмножеств, удовлетворяющих этому условию, дальше именую – центр симметрии.

Где центр симметрии в смысле введенного определения на кубе 9х9х9?

Число вершин всегда четно в топологически эквивалентных сфере досках (если сетка регулярная достаточно, как в примере с кубом), никакого подмножемтва вершин с указанным свойством на поверхности сферы нет.

> 1. Полностью заполняем центр симметрии так, что не снимается ни один камень. Это всегда возможно. Существует способ заполнения такой, что на доске образуются одна черная и одна белая группы. Все даме у групп – внешние.
2. Заполняем даме у белой группы. Результат очевиден.

Что значит заполняем центр симметрии? В смысле для куба.

На самом деле результат - сэки. Два дамэ останутся незаняты (ход приводит к самоатари).



Смотри в корень

Зеркальная стратегия означает наличие у каждого пункта двойника (т.е. все пункты - миайные), а не симметрию относительно какого-то игрового пункта. Например, рассмотрим доску 18х18 (нет тэнгэна). Играть же на ней можно? И манэ Го не опровергается, поэтому четные доски не употребляются. Для сферы и ей топологически эквивалентным двумерным многообразиям можно построить попарно двойственные множества точек. Например на сфере - это концы диаметров большого круга.



Отправка отредактированного (14/01/04 12:47)

Смотри в корень

Зеркало - один из видов симметрии. На доске 18х18 центр симметрии - четыре центральные пункта. Опровергающая стратегия существует и именно та, что я описал. Сначала черные занимают два смежных центральных пункта, а затем окружают два белых камня. На доске 4х4 опровергающей стратегии не существует, т.к. "центр симметрии" совпадает с графом (n=k).

Всё правильно: дело в симметрии. А опровергающая стратегия тут чрезвычайно сложна, что дает черным возможность выгодно выбрать момент для перехода к нормальной игре.

Дело в том, что если взять симметрию относительно центра куба, парные пункты оказываются топологически очень далеки друг от друга. Чтобы сделать "антисимметричное" окружение, группу нужно растянуть на на всю доску.

>> Минимально это октаэдр, вписанный в сферу и спроектированный своими ребрами на ее поверхность. Других нет (докажите).

Меньше только полный 5-граф (пентограмма), а он, очевидно, самопересекающийся.

А вот для листа Мёбиуса, симметричной стратегии нет, если ширина нечетная, даже если четная длина.

>> (Прошу извинить за такую форму записи. Не нашел на клавиатуре символа сравнимости.)

Такое не прощают.