Парадоксы и иллюзии

В ходе различных обсуждений, порой напрямую не связанных с проблемами рейтинг-систем, то в одной теме, то в другой возникают дискуссии, отдельные вопросы, парадоксального содержания. В этой ветке попробую отвечать на такие замечания и разбирать известные парадоксы в указанной области.

Вот первый парадокс. Рассмотрим группу игроков, абсолютно одинаковой силы игры (это наше предположение). Пусть их ровно 32 (или 64 и т.д.). Играется турнир по олимпийской системе на равных. Победитель в обязательном порядке выиграет все партии. Означает ли это, что его сила игры существенно выше остальных? (Этого не может быть в силу нашего предположения.) А как ему следует пересчитать рейтинг? Если у всех игроков примерно одинаковый рейтинг, то наверняка ведь аномалка по результату обеспечена. Тогда его сдвиг от 3000 очков должен сразу уменьшиться в 1.64 раза (т.е. был, скажем, 5 д, стал - 8 д). В чем здесь проблема и "где зарыта собака"?

Вот второй парадокс: два игрока различаются по рейтингу (и он точно отражает их силу игры) ровно на 3 разряда: первый ниже, второй - выше. Они одновременно играют в одном и том же турнире по ММ, причем первый выигрывает в первых трех турах, а второй - проигрывает. Означает ли это, что их сила игры сравнялась (не может быть, если считать что в течение турнира сила игры практически не меняется; может быть что угодно, если считать, что сила игры меняется кардинально от партии к партии).

Если аналогичная ситуация встречается в форовом турнире по ММ с начальным распределением по очкам как и в обычном турнире, и во всех трех турах фора устанивливалась строго по рейтингу, то следует ли этим игрокам играть на равных? (При среднем уровне встречающихся от 4-го дана и выше вероятность победы второго равна 100%, если не признавать кардинального изменения силы игры).

Первый парадокс о рейтингах пропускаю как слишком сложный ...

1-я часть второго парадокса :
Схема турнира является технологией оценки силы игроков . Оценка не может быть абсолютно точной , однако может и должна быть самосогласованной , без противоречий . По схеме MM(LG) , если 5к выиграл без форы у другого 5к , затем без форы у 4к и наконец без форы у 3к , значит он с начала турнира играл с той же силой , что и неудачливый 2к . Если бы он чередовал победы с поражениями , значит в течение турнира его сила менялась , а конце получилась бы усредненная оценка по всем турам . Это простая , четкая и достаточно надежная схема .

2-я часть второго парадокса :
Формальный ответ - как написано в регламенте турнира , так и надо играть . По существу (с точки зрения какая должна быть схема) - нет , не следует . Если , например , 5к выиграл на равных против другого 5к , затем выиграл на форе 1 у 4к и затем на форе 2 у 3к , то все эти 3 партии говорят о его силе одно и то же : он несколько сильнее , чем 5к . Это не гарантированная , но технологичная оценка . Если же он выиграл на равных у всех этих противников , тогда - да , следует , ведь он по здравой динамичной турнирной логике оказался в этом турнире сильнее , чем 5к , чем 4к и чем 3к .

> (При среднем уровне встречающихся от 4-го дана и выше вероятность победы второго равна 100%, если не признавать кардинального изменения силы игры).

Эта фраза провоцирует контрвопрос . Элита (скажем 3-6 даны) норовит играть между собой швейцарку вопреки выводу о 100%-ной предопределенности партий 3д-6д . И ведь они оказываются правы ! Аутсайдеры элиты достаточно часто побеждают лидеров , это даже трудно назвать сенсацией . Почему так ? Рейтинги плохие , силы меняются или формула вероятности ошибочна ?



Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)

А мне первый парадокс понравился. Помните, раньше существовала поговорка из тервера - если дать миллиарду обезьян пишущие машинки, одна из них напечатает "Гамлета"? Конечно, интернет доказал её ошибочность, но суть верна.
Этот парадокс демонстрирует имманентно присущий игре элемент случайности. Но так как подобные обобщения "Тогда его сдвиг от 3000 очков должен сразу уменьшиться в 1.64 раза " нужно делать на основании достоверной выборки, то парадокс решается просто - провести несколько таких турниров. Если исходный постулат о равенстве силы игроков верен, то побеждать в турнире будут всегда разные игроки, что при достаточном кол-ве турниров приведет к вполне равномерному распределению результатов.



Эксперимент продолжается...

П1. Совершенно верно, Алексей! Добавлю только, что из-за "несоблюдения условий случайности выборки" нарушаются условия применения ряда теорем теории вероятностей, следовательно, в таких случаях нужно снижать влияние побед на рейтинг в ходе турниров с "напрпавленными выборками". По крайней мере, аномалку применять точно нельзя. Иначе угробится вся система "безопасности" РС, то бишь достоверность уплывет...

И еще добавлю в целом: это самый простой (а вовсе не сложный) и очевидный даже случай нарушения условий по статистической выборке. В действительности мы часто сталкиваемся с завуалированным нарушением этого же типа - в системах типа швейцарской и ММ. В чем суть конфликта? В том, что победитель сталкивается каждый раз с таким же победителем. А что мы имеем в верхней группе ММ? То же самое!

П2, Ч.1. Ветров: "Схема турнира является технологией оценки силы игроков . Оценка не может быть абсолютно точной , однако может и должна быть самосогласованной , без противоречий . По схеме MM(LG) , если 5к выиграл без форы у другого 5к , затем без форы у 4к и наконец без форы у 3к , значит он с начала турнира играл с той же силой , что и неудачливый 2к . Если бы он чередовал победы с поражениями , значит в течение турнира его сила менялась , а конце получилась бы усредненная оценка по всем турам . Это простая , четкая и достаточно надежная схема ."

Трудно удержаться, чтобы еще раз не назвать это бредом. "Этот парадокс демонстрирует имманентно присущий игре элемент случайности" - Вот Вам и ответил в соседнем посте Алексей. Некорректно делать заключения об изменении силы игры по результату одной-двух партий. Но строить доверительные интервалы с доверительными вероятностями можно, используя предысторию (информацию, в том числе и о предыдущих турнирах). Это и делается в рейтиг-системе (правильной), но не в турнирной схеме (заблуждение).

П2, Ч.2. Ветров: "все эти 3 партии говорят о его силе одно и то же : он несколько сильнее , чем 5к". Совершенно верное заключение, с маленькой оговоркой: вероятность того, что он сильнее, больше чем вероятность того, что он слабее (р1>p2, p1+p2=1). Не более. Пока. Для правильных оценок нужно изучать предысторию и прочитать, в частности диссертацию М.Гликмана ( не настаиваю :). Ну и так на сколько же его рейтинг не соответствует силе игры (про изменение силы скачком от партии к апртии - см. комментарий к предыдущему пункту).

П2, Ч.1. Ветров: "> (При среднем уровне встречающихся от 4-го дана и выше вероятность победы второго равна 100%, если не признавать кардинального изменения силы игры).
...
Эта фраза провоцирует контрвопрос. Элита (скажем 3-6 даны) норовит играть между собой швейцарку вопреки выводу о 100%-ной предопределенности партий 3д-6д. И ведь они оказываются правы! Аутсайдеры элиты достаточно часто побеждают лидеров, это даже трудно назвать сенсацией. Почему так? Рейтинги плохие, силы меняются или формула вероятности ошибочна?" /Конец цитирования/.

Рейтинг - оценка в терминах математической статистики. Т.е. это - не сила игры. Поэтому победа 3д над 6д (оба - по рейтингу) не есть "невозможное", а может даже и вполне вероятное и даже очень часто, может 1 из 10 (или из 20) или... сколько-то там. Кстати, какова вероятность попасть, скажем, в точку 0.5 при случайном бросании точек на интервале (0,1)? А в точку 0.3 или 0.75643982798264? А если мы попали, то что? Верояность плохая, точка ли не та, интервал ли не тот или... всю теорию вероятностей - в корзину?

Корректно говорить "вероятность такая-то", имея ввиду вполне определенную вероятностную модель процесса (в частности, определенную рейтинг-систему, как я и указываю постоянно). Но некорректно говорить вообще: "И ведь они оказываются правы!" - про то, что победа 3д над 6д опровергает модель или что-то подобное. Это - не конструктивный подход. Создайте свою теоретико-вероятностную модель, покажите ее статистическую обоснованность - вот это будет конструктивным подходом.

> Трудно удержаться, чтобы еще раз не назвать это бредом.

Сергей , хамство характеризует лишь автора хамства , а не адресата :-) Так что прошу говорить по существу , а за неимением достаточных аргументов рекомендую достойно молчать .

Прочитай наконец , что я сказал , а не внушай себе , будто увидел то , что надеялся увидеть .

По 1-му "парадоксу" .

Сложным мне показалось расписать конкретную реакцию нынешней или проектируемой рейтинг-системы на результаты данного турнира . Тебе это тоже трудновато , судя по твоему привычному уходу от конкретики . Насколько твоя РС повысит рейтинг победителя после ОДНОГО такого турнира ?

По поводу моего контрвопроса : не надо надувать щеки , выдавая любые сомнения в твоей формуле вероятности за нападки на теорию вероятностей , это выглядит забавно , спасибо , но наносит ущерб твоему имиджу :-)

Кто твердит , что вероятность победы 7д над 5д в нынешней рейтинг-системе радикально занижена ? Я ?

Если бы выигрыш 5д над 7д был бы редчайшей сенсацией , тогда моего контрвопроса бы не было , да и мастера всех данов не стремились бы играть в одной широкой группе ММ . Но подобные расклады настолько часты , что даже в схеме ФОРС ты вынужден извернуться ужом и сделать широкую элитную группу . А ведь из твоей формулы вероятности следует , что широкая элитная группа лишена всякого смысла из-за предопределенности партий в этой группе .

Еще смешнее то , что я вовсе не нападал на твою формулу вероятности , ожидая ответ в духе - конечно силы скачут , конечно рейтинги кривые , надо поскорее внедрять новую рейтинг-систему .



Отправка отредактированного (07/10/04 12:56)

Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)

> Насколько твоя РС повысит рейтинг победителя после ОДНОГО такого турнира ?

Насколько угодно. Заранее не прогнозируемо, т.к. есть понятие аномалки. См. результаты Драгониады в ГБ.

> По поводу моего контрвопроса : не надо надувать щеки , выдавая любые сомнения в твоей формуле вероятности за нападки на теорию вероятностей , это выглядит забавно , спасибо , но наносит ущерб твоему имиджу :-)

Формула вероятностей здесь ни причем. Фомула по модели Брэдли-Терри (Эло) при согласованных параметрах имеет второй порядок касания с кривой в моем проекте. Но там нет зависимости от уровня в глобальном масштабе (это уже учтено в РС А.Чипли, но не совсем корректно). Поэтому все, что я говорю, в принципе работает и при старой РС (ну вероятности там несколько "задвинутые" будут - и только).

Рейтинги - кривые, и силы будут скакать... Только причем здесь личные нападки? Я больше не намерен отвечать лично на Ваши посты. Можете не тратить время и деньги на трафик (а у меня он бесплатный :)



Отправка отредактированного (28/10/04 13:06)

> Если исходный постулат о равенстве силы игроков верен, то побеждать в турнире будут всегда разные игроки, что при достаточном кол-ве турниров приведет к вполне равномерному распределению результатов.

Еще раз хочу прокомментировать этот, безусловно замечательный и правильный ответ. В теории вероятностей и мат. статистике при вопросах прикладного характера одна из главных проблем - построение вероятностно-статистической модели. В кн. "Теория вероятностей" академи А.А.Боровков отмечает, что этот вопрос бывает очень сложен даже в очень простых по постановке практических задачах.

Например, какую модель пространства событий выбрать для описания турнира по го (с форой или без - не суть важно)? Если выбирать классическую модель: столько-то исходов в каждой из партий, каждый имеет вероятность (предположим что известную), то пространство элементарных событий получается одно. Соответственно с ним и придется рабботать. Можно предположить вероятности неизвестными, и вообще - случайными функциями. Получим другую модель.

Можно взять за элементарное событие реализацию выборки определенной длины (число туров) из наборов (0,1). Если задана вероятность появления 1 в однократном опыте, то это - так называемая схема Бернулли. В ней предполагается, что условия опыта не меняются и испытания независимы друг от друга. На этой схеме построены большинство рейтинг-систем. Тогда в П1 нарушаются условия применения модели "схема Бернулли". Аналогично "слегка" нарушаются эти условия и в ММ, а наиболее точно соответствуют схеме Бернулли только ФОРОВЫЕ турниры с форой, максимально сводящей все вероятности в одному числу - 0.5! Но для этого нужно предполагать по-прежнему неизменность силы игроков в самой схеме Бернулли. Ошибка в начальном задании рейтинга неустранима и всегда будет, у кого-то меньше, а у кого-то - больше, но краткосрочный (на два-три тура) прогноз результатов имеет низкую достоверность даже тогда, когда вероятность строго равна 0.5 - из-за случайного характера самого процесса. Поэтому и поправку к рейтингу предпочитают делать не менее чем по 5-10 результатам (хотя можно и после каждой партии - при свободном и случайном блуждании по множеству партнеров).

Таким образом, коррекция форы на основе разницы побед и поражений, динамически в ходе турнира с заданным числом туров, на самом деле не увеличивает достоверность выявления более сильных, а снижает ее, так как по сравнению с классической схемой Бернулли деформирует распределение конечных результатов очень интересным способом: уменьшаются вероятности крайних результатов, а плотность результатов в середине возрастает. Следовательно, при малой ранице в силе у лидеров труднее становится выделить действительно чемпиона.

Не правда ли, интересный факт?

> Таким образом, коррекция форы на основе разницы побед и поражений, динамически в ходе турнира с заданным числом туров, на самом деле не увеличивает достоверность выявления более сильных, а снижает ее,

> так как по сравнению с классической схемой Бернулли деформирует распределение конечных результатов очень интересным способом: уменьшаются вероятности крайних результатов, а плотность результатов в середине возрастает.

> Следовательно, при малой ранице в силе у лидеров труднее становится выделить действительно чемпиона.

Аргумент (после "так как") кажется понятным и правильным , следствие (о достоверности выявления сильнейших) сомнительно , логической связи мне вообще не видно . Можно разъяснить , как из средней части рассуждения следуют первая и третья ? То есть конечно при динамичной форе будут маловероятны случайные далекие отрывы игроков от своей рейтинговой группы , но что в этом плохого ?



Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)

Рассуждения "про далекие или близкие отрывы" неприменимы для верхней группы, так как там нарушаются условия симметрии в рассуждениях про "спуск одного, подъем другого".



Отправка отредактированного (12/10/04 11:48)

Данный материал можно рассматривать как некий неформальный анализ и сравнение механизмов размазывания в различных группах ММ и сопоставление с системой ФОРС. Не на что большее не претендую. (Будущий доцент и БИЧ - бывший интеллигентный человек :)

Дисперсия схемы Бернулли имеет порядок произведения числа туров на среднюю вероятность победы и поражения в каждой из партий данного игрока. Т.е. N/4 - примерно. При 6-ти турах ст. отклонение (корень из дисперсии) будет около 1.2. Размазывание сверх двух ст. отклонений (ок. 2.5) пренебрежимо мало, поэтому основная масса игроков, стартуя из "родной" группы в середине большого турнира, к концу размазывается симметрично по пяти примерно группам с "родной" в центре этого "пятна" (в "родной" группе нет сдвига, все набрали 50% очков). К этому размазыванию может подмешиваться дисперсия начального рейтинга игроков. В применяемых РС это никак не учитывается и не контролируется. Поэтому трудно отследить. Но она имеет порядок примерно той же самой величины. Т.е. суммарное размазывание может увеличиться примерно в 1.4 раза (корень из двух).

Все это не справедливо, не работает для крайних групп. В частности, для верхней (по ходу турнира, а не стартовой) группы никто не спускается в нее (вы побеждаете), и поэтому симметрия нарушается (в обычном случае в группу сколько приходит сверху - столько же уходит, аналогично вниз - приблизительно). Т.е. вы, побеждая, сами поднимаетесь, но никто к вам не спускается, есть только обмен со следующей снизу группой. Размазывание стартовой группы облегчается кверху, так как принудительно играют победитель с победителем, а на игрока, спустившегося откуда-то сверху, попасть нельзя. А как известно, спустившийся игрок имеет обычно рейтинг выше, чем поднявшийся, если они оказались в одной группе. Поэтому в среднем, статистически, лидерам как бы легче "зарываться" вверх и дальше, если сравнивать возможности подняться на сколько-то очков в средней группе или в самой верхней.

Тут вступает в действие еще один фактор - повышение с ростом уровня игры вероятности победы при одной и той же разности рейтингов. Значит, партии сильнейших по рейтингу и более слабых из самой верхней группы значительно более предопределены, чем партии в среднем в какой-то еще группе. Это приводит к еще более быстрому расслоению и в самой верхней группе выявляются лидеры, а аутсайдеры быстро ее покидают. Иногда туда-сюда между первой и второй сверху группами тусуются другие игроки, как правило не претендующие на роль лидеров.

Такая схема одинаково работает как в ММ, так и в ФОРСе при наличии верхней бефоровой группы. Только в чистом ФОРСе без спецстыковок не по рейтингу вначале некоторые из лидеров по рейтингу могут опуститься в первом же туре, но потом, вероятно, смогут вернуться и снова будут участвовать в расслоении верхней группы. Следует напомнить, что группы ММ и группы в ФОРСе - совершенно разные понятия. В ФОРСе - это условные группы по количественному признаку в порядке ранжировки по очкам после каждого тура.

Спор по системе ФОРС как вирус-паразит заразил все ветки форума. Мне кажется, что нужно сделать отдельный подфорум для ФОРС или хотя бы отдельную ветку, но только 1 или мах. 2.
Лучше подфорум, чтобы люди могли отдохнуть от этих ужасных математических споров и доказательств. А то куда ни войдешь, везде Паскаль с треугольником, Бернулли с нормальным и ненормальным распределением и доказательства...
Это надо решеть хурургически - в отдельный подфорум.
С уважением

Валера, причем здесь ФОРС? Читай название. Не нравится - зачем сюда зашел?

Вопрос о перекачке очков в ФОРС

По классической формуле (якобы настроенной на средний рейтинг 1к) возможные турнирные очки за партию 20+Ф , 10 , 20 , 10-Ф . Шансы выровнены . Средний результат у белых 15+Ф/2 , у черных 15-Ф/2 , разница =Ф .

При игре на равных , средний результат у старшего 20*р+10*(1-р) , у младшего 10*р+20*(1-р) , разница =20*р-10 . Здесь р= вероятность ожидаемого результата без форы .

Отсюда р=(10+Ф)/20 .

Поэтому , если для равенства шансов я (3к) должен взять у 7д фору 9 камней , то при игре без форы у меня будет 1 победа из 20 . Оптимистично ! Правда средний рейтинг получается 2д .

Но при игре против 2д без форы у меня должно быть 3 победы из 10 партий . Неужели правда ? По первоисточнику р = 0.5 + DR/(3000 – Rср); = 0.5 + 400 / 1000 = 0.9 , а вовсе не 0.7 .

Получается , что статистическая эквивалентность игры без форы с игрой на рейтинговой форе (с классической перекачкой очков) соответствует другому среднему рейтингу , а не 1к ? Тогда какому ?

P.S: Пардон , ответ очевиден . Классические формулы перекачки очков настроены на средний рейтинг 10-й кю .



Отправка отредактированного (27/10/04 16:10)

Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)

Обращаю внимание всех на то, что в формуле р=(10+Ф)/20 , или по-другому: Ф = 20р - 10, Ф - это НЕ ФОРА В КАМНЯХ, а в ступенях, и вообще это уравнение для определения ступени при заданном среднем рейтинге. Поэтому при среднем рейтинге 2000 (1к) и положив Ф=1 (ОДНА ступень) получаем Ф строго соответствует 0.5 камня или 1 коми = 8 территориальных очков, так как тогда р = 11/20, откуда для dcp=1000 (1к) 1/20 = DR/1000, или DR=50, т.е. 1 СТУПЕНЬ адекватна 50 пунктам разницы рейтингов (изменение форы на 0.5 камня или 1 коми).

Для dср= 2000 (11к) ступени форы удваиваются, что легко проверить. Все изложенное здесь много раз описывалось на форуме и содержится в описании обоснования в ГБ. Читайте внимательнее, пожалуйста.

М-да...

Может быть при более ясном изложении больше людей читали бы и понимали бы ?

С другой стороны , нет лучшего способа прекратить вопросы , чем дать загадочный ответ .

============

Предельно конкретный вопрос : как начислялись турнирные очки на полуфинале чемпионата Москвы ? Какие там были ступени , как число ступеней вычислялось из рейтингов ?



Отправка отредактированного (27/10/04 17:02)

Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)

Как я понял из описания турнира, фора была традиционная, без учета сдвига в пол-камня, т.е. при среднем 1к фора 1 точно соответствует одной ступени (0.5 камня - ход без коми), а при большей форе - шаг уже становится несколько больше (ф = 2 - ступень примерно 0.75 камня, т.к. фора 1.5, а компенсация в 2 очка, что хорошо для среднего 5-6 кю и т.д.; поскольку фора обычно растет за счет падения среднего кю соперников, то это приемлемые неточности в среднем по турниру).

Из ГоБиблиотеки :
> На практике не считают шаг форы для каждой пары, а усредняют значение этого шага для всей группы. Поэтому шаг в полкамня целесообразно назначать для группы, в которой средний рейтинг игроков около 2000, что и рекомендовано в описании системы ФОРС.

Как это шаг форы в полкамня ? Это значит фора уполовиненная ? Или фора прямая , а "шаг форы" надо понимать как "шаг форовой добавки" ? Тогда в полуфинале чемпионата Москвы всем считали 20+Ф/2 и 10-Ф/2 ? Или для всех по-разному ?

И ПОЧЕМУ ТУРНИРНАЯ СХЕМА ПОЛУФИНАЛА ЧЕМПИОНАТА МОСКВЫ НИГДЕ НЕ ОПИСАНА ????

Так вот , судя по таблице турнира (а это ПЛОХО , когда схему турнира приходится выявлять из таблицы , да и не все элементы схемы видны из таблицы) очки считались как (20+фора) и (10-фора) и следовательно хваленая "статистическая эквивалентность" была настроена на 10к .

Для примера :

2 Мамрай С. 2222 51 -1\60 +7\83 -5\93 -4\103 +11\128 128\77 6
7 Назаренко А.1881 37 +6\57 -2\64 -4\72 -10\82 +26\111 111\74 10
11 Данилов С.1686 33 +10\53 +12\74 +9\94 -5\100 -2\105 105\72 12



Наш рот всегда открыт для диалога (c) Владимир ВишневскийOkruzhor (экс-Игозавр)